Question

8．已知函數(shù)f（x）=sinωx•cosωx+$\sqrt{3}$cos²ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（ω＞0），直線x=x₁，x=x₂是y=f（x）圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{4}$，若關(guān)于x的方程f（x）+k=0在區(qū)間[0，$\frac{π}{4}$]上有兩個不同的實數(shù)解，則實數(shù)k的取值范圍為（　�。�

• A． （-1，1）
• B． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）
• C． （-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]
• D． （-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]

Answer 1

分析 化簡f（x）=sinωx•cosωx+$\sqrt{3}$cos²ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）；由題意知$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$；從而可得f（x）=sin（4x+$\frac{π}{3}$），利用數(shù)形結(jié)合的方法求解即可．

解答 解：f（x）=sinωx•cosωx+$\sqrt{3}$cos²ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）；
∵|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{4}$，
∴T=$\frac{π}{2}$；
∴$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$；
∴ω=2；
f（x）=sin（4x+$\frac{π}{3}$），
作f（x）=sin（4x+$\frac{π}{3}$）在[0，$\frac{π}{4}$]上的圖象如下，
，
f（0）=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{π}{24}$）=1；
∵關(guān)于x的方程f（x）+k=0在區(qū)間[0，$\frac{π}{4}$]上有兩個不同的實數(shù)解，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$+k≤0＜1+k；
∴-1＜k≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
故選：C．

點評 本題考查了三角恒等變換的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時考查了方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系應(yīng)用．