Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足前2項(xiàng)的和為5，前6項(xiàng)的和為3．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=（4-a_n）•2ⁿ，（n∈N⁺），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式建立方程組，解之即可得到首項(xiàng)和公差，從而得到通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)數(shù)列{b_n}通項(xiàng)公式的特點(diǎn)可知利用錯(cuò)位相消的方法進(jìn)行求和即可．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，則

2a1+ 2×1 2 d=5 6a1+ 6×5 2 d=3

（2分）
解得

a1=3 d=-1

（4分）    
∴a_n=a₁+（n-1）d=4-n（6分）
（2）b_n=（4-a_n）•2ⁿ=n•2ⁿ（n≥1）（7分）
S_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ…①
2S_n=1•2²+2•2³…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹ …②
①-②，得-S_n=2+2²+2³…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹（11分） 
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹（13分）
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及利用錯(cuò)位相消法求數(shù)列的和，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．