Question

（2011•寶坻區(qū)一模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點為F₂（3，0），離心率為e．
（Ⅰ）若e=

3

2

，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線y=kx與橢圓相交于A，B兩點，若

AF2

•

BF2

=0，且

2

2

＜e≤

3

2

，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先根據橢圓方程，根據條件列出關于a，b，c的方程，求出a，b，c即可得到結論．
（II）因為直線和橢圓有兩個不同的交點，所以兩方程聯立化成關于x的一元二次方程，可運用設而不求的辦法把設出的A，B點的坐標代入向量的數量積公式，求出k關于a的函數表達式，進一步整理后求出函數的值域即可．

解答：解：（I）由題得：c=3，

c

a

=

3

2

⇒a=2

3

，b=

3

．
故橢圓方程為

x2

12

+

y2

3

=1；
（II）由

x2 12 + y2 3 =1 y=kx

得（b²+a²k²）x²-a²b²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴x₁+x₂=0，x₁x₂=

-a2b2

b2+a2k2

，又

AF2

=（3-x₁，-y₁），

BF2

=（3-x₂，-y₂），∴

AF2

•

BF2

=（1+k²）x₁x₂+9=0，即

-a2(a2-9)(1+k2)

a2k2+(a2-9)

+9=0，
∴k²=

a4-18a2+81

-a4+18a2

=-1-

81

-a4+18a2

，
∵

2

2

＜e≤

3

2

，
∴2

3

≤a≤3

2

，12≤a²≤18，
∴k²≥

1

8

，即 k∈（-∞，-

2

4

]∪[

2

4

，+∞）．

點評：本題主要考查橢圓的基本性質，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了學生的運算能力，一般涉及直線與圓錐曲線的交點問題，常利用方程思想．此題是中檔題．