已知函數(shù)f（x）=ax-a-x，（a＞1，x∈R）．
（Ⅰ） 判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若f（1-t）+f（1-t2）＜0，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)镽，又f（-x）=a-x-ax=-f（x）
所以f（x）是奇函數(shù)
（Ⅱ）函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)．
證明：在R上任取x1＜x2，
則=
=
因?yàn)閤1＜x2，又a＞1，所以，，
∴f（x1）-f（x2）＜0
所以f（x1）＜f（x2）．
所以函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)
（Ⅲ）由f（1-t）+f（1-t2）＜0，可得f（1-t）＜-f（1-t2）．
由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，可得f（1-t）＜f（t2-1）．
又函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，所以1-t＜t2-1，即t2+t-2＞0．
解得　t＜-2，或t＞1
分析：（Ⅰ） 判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
判斷奇偶性，先求定義域，看是否關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，若不是，則為非奇非偶函數(shù)；若是，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，得出結(jié)論．
（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
按照定義去判斷，取值，作差，變形，判斷符號，得出結(jié)論．
（Ⅲ）若f（1-t）+f（1-t2）＜0，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
先移項，得f（1-t）＜-f（1-t2），根據(jù)奇函數(shù)，f（1-t）＜f（t2-1），再根據(jù)單調(diào)性，求出t的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的證明，抽象函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用，關(guān)鍵是正確應(yīng)用函數(shù)的基本性質(zhì)解題．
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）當(dāng)a∈[-2，
1
4
)時，求f（x）的最大值；
（2）設(shè)g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率，否存在實(shí)數(shù)a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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（2009•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=a-2x的圖象過原點(diǎn)，則不等式f(x)＞
34
的解集為
（-∞，-2）
（-∞，-2）
．

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已知函數(shù)f（x）=a|x|的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3），解不等式f(
2x
)＞3．

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已知函數(shù)f（x）=a•2x+b•3x，其中常數(shù)a，b滿足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a=-3b，求f（x+1）＞f（x）時的x的取值范圍．

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已知函數(shù)f（x）=a-2|x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）=
f(x)   ，  x＞0
-f(x) ，    x＜0
 給出下列命題：①F（x）=|f（x）|； ②函數(shù)F（x）是奇函數(shù)；③當(dāng)a＜0時，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正確命題的序號是
 
．

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