Question

【題目】如圖，橢圓的離心率為，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)， 與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).

（1）求的方程；

（2）證明： 三點(diǎn)共線(xiàn).

Answer 1

【答案】(1) .(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

（1）由橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)及可得可組成關(guān)于的方程組，解方程組可得橢圓方程。（2）①當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，結(jié)論成立；②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)的方程，與橢圓方程聯(lián)立消元后得到二次方程，利用根據(jù)系數(shù)的關(guān)系并結(jié)合斜率公式可得，從而可得結(jié)論成立。

試題解析：

（1）解：由已知得，

解得，

所以橢圓的方程為.

（2）證明：①當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，顯然有三點(diǎn)共線(xiàn)。

②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為

由，

因?yàn)橹本�(xiàn)與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，

所以，

設(shè)的坐標(biāo)分別為，

則，

因此，

易知點(diǎn)關(guān)于軸垂直的點(diǎn)的坐標(biāo)為，

又

，

所以，

又， 有公共點(diǎn)，

所以三點(diǎn)共線(xiàn).