如圖，長(zhǎng)方體中，為中點(diǎn).

（1）求證：；
（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）若二面角的大小為，求的長(zhǎng).

（1）詳見(jiàn)解析；（2）存在，且；（3）的長(zhǎng)為.

解析試題分析：（1）以為原點(diǎn)，、、的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/57/d/blmux1.png" style="vertical-align:middle;" />軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)，利用空間向量法證明，從而達(dá)到證明；（2）設(shè)點(diǎn)，求出 平面，利用平面轉(zhuǎn)化為，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出知，從而確定點(diǎn)的坐標(biāo)，最終得到的長(zhǎng)；（3）設(shè)，利用空間向量法求出二面角的余弦值的表達(dá)式，再結(jié)合二面角為這一條件求出的值，從而確定的長(zhǎng)度.
試題解析：（1）以為原點(diǎn)，、、的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/57/d/blmux1.png" style="vertical-align:middle;" />軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，，，，
故，，，，
，；
（2）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)，使得平面，此時(shí)，
有設(shè)平面的法向量為，
平面，，，得，
取，得平面的一個(gè)法向量為，
要使平面，只要，即有，由此得，解得，即，
又平面，
存在點(diǎn)，滿(mǎn)足平面，此時(shí)；
（3）連接、，由長(zhǎng)方體及，得，
，

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面是正方形，⊥平面，

（1）求證：；
（2）求二面角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

右圖為一組合體，其底面為正方形，平面，，且

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求四棱錐的體積；
（Ⅲ）求該組合體的表面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，垂足為，在上且，，，是的中點(diǎn)，四面體的體積為.

（1）求二面角的正切值；
（2）求直線(xiàn)到平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使異面直線(xiàn)與所成的角為，若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱柱中，已知平面，且．

(1)求證：;
(2)在棱BC上取一點(diǎn)E，使得∥平面，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖長(zhǎng)方體中，底面是正方形，是的中點(diǎn)，是棱上任意一點(diǎn).

⑴求證：；
⑵如果，求的長(zhǎng).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在三棱錐S-ABC中,△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,,、分別為、的中點(diǎn).

(1)求二面角的余弦值;
(2)求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，是等邊三角形，，，將沿折疊到的位置，使得．

(1)求證：；
(2)若，分別是,的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線(xiàn)AM與直線(xiàn)PC所成的角為60°．

（1）求證：PC⊥AC；
（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；
（3）求點(diǎn)B到平面MAC的距離．

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