Question

在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且b²=a²-ac+c²，C-A=90°，則cosAcosC=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專題：計(jì)算題,解三角形

分析：根據(jù)余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，結(jié)合題中等式解出B=

π

3

，從而得到cos（A+C）=-cosB=-

1

2

，又因?yàn)镃-A=90°得cos（A-C）=0，利用兩角和與差的余弦公式聯(lián)解，即可得到cosAcosC的值．

解答： 解：∵在△ABC中，b²=a²-ac+c²，
∴由b²=a²+c²-2accosB，得cosB=

1

2

，
結(jié)合B∈（0，π）得B=

π

3

，
由此可得cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=-cosB=-

1

2

，
又∵C-A=90°，可得cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC=cos（-90°）=0，
∴兩式相加，得2cosAcosC=-

1

2

，解之得cosAcosC=-

1

4

．
故答案為：-

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形邊的平方關(guān)系和C-A的值，求cosAcosC之值．著重考查了兩角和與差的余弦公式、利用正余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．