已知動圓C過點(diǎn)A(-2,0),且與圓M:(x-2)2+y2=64相內(nèi)切
(1)求動圓C的圓心的軌跡方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx+m(其中k,m∈Z)與(1)所求軌跡交于不同兩點(diǎn)B,D,與雙曲線
x2
4 
-
y2
12
=1
交于不同兩點(diǎn)E,F(xiàn),問是否存在直線l,使得向量
DF
+
BE
=
0
,若存在,指出這樣的直線有多少條?若不存在,請說明理由.
分析:(1)由|AM|=4<R得點(diǎn)A(-2,0)在圓M內(nèi),設(shè)動圓C的半徑為r,依題意得r=|CA|,且|CM|=R-r,|CM+|CA|=8>|AM|,由定義得圓心C的軌跡是中心在原點(diǎn),以A,M兩點(diǎn)為焦點(diǎn),長軸長為8的橢圓,再根據(jù)a,b,c的關(guān)系解答即可.
(2)直線l:y=kx+m與
x2
16
+
y2
12
=1
交于不同兩點(diǎn)B,D,即x1+x2=-
8km
3+4k2
同理得x3+x4=
2km
3-k2
又因?yàn)?span id="akfaoym" class="MathJye">
DF
+
BE
=
0
所以(x4-x2 )+(x3-x1)=0即x1+x2=x3+x4
,∴2km=0或-
4
3+4k2
=
1
3-k2
又其中k,m∈Z即可求出k,m的數(shù)值.
解答:解:(1)圓M:(x-2)2+y2=64,圓心M的坐標(biāo)為(2,0),半徑R=8.
∵|AM|=4<R,∴點(diǎn)A(-2,0)在圓M內(nèi),
設(shè)動圓C的半徑為r,圓心為C,依題意得r=|CA|,且|CM|=R-r,

∴圓心C的軌跡是中心在原點(diǎn),以A,M兩點(diǎn)為焦點(diǎn),長軸長為8的橢圓,
設(shè)其方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),則a=4,c=2,
∴b2=a2-c2=12,∴所求動圓C的圓心的軌跡方程為
x2
16
+
y2
12
=1

(2)由
y=kx+m
x2
16
+
y2
12
=1
消去y 化簡整理得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0,
設(shè)B(x1,y1),D(x2,y2),則x1+x2=-
8km
3+4k2

1=(8km)2-4(3+4k2) (4m2-48)>0.①
y=kx+m
x2
4 
-
y2
12
=1
消去y 化簡整理得:(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0,
設(shè)E(x3,y3),F(xiàn)(x4,y4),則x3+x4=
2km
3-k2

2=(-2km)2+4(3-4k2) (m2+12)>0.②
DF
+
BE
=
0
,∴(x4-x2 )+(x3-x1)=0,即x1+x2=x3+x4
-
8km
3+4k2
=
2km
3-k2
,∴2km=0或-
4
3+4k2
=
1
3-k2
,
解得k=0或m=0,
當(dāng)k=0時(shí),由①、②得-2
3
<m<2
3
,
∵m∈Z,∴m的值為-3,-2,-1,0,1,2,3;
當(dāng)m=0時(shí),由①、②得-
3
2
<m<
3
2

∵k∈Z,∴k=-1,0,1.
∴滿足條件的直線共有9條.
點(diǎn)評:本題主要考查圓、橢圓、直線等基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)探究,考查數(shù)形結(jié)合、類與整的數(shù)學(xué)思想方法,以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識.
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