Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|+2x，其中a＞0．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）≥2x+1的解集；
（2）若當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，恒有f（x）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時(shí)，不等式即|x-2|≥1，可得x-2≥1，或 x-2≤-1，解得x的范圍，可得不等式的解集．
（2）由于 f（x）的解析式及a＞0，可得函數(shù)f（x）在它的定義域（-2，+∞）上是增函數(shù)．再由f（x）＞0在它的定義域（-2，+∞）上恒成立，
可得f（-2）=a-2≥0，由此求得a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，不等式f（x）≥2x+1，即|x-2|≥1，
∴x-2≥1，或 x-2≤-1．
解得x≤1，或 x≥3，
故不等式的解集為 {x|x≤1，或 x≥3}．
（2）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x-a，x≥a}\\{x+a，x＜a}\end{array}\right.$，a＞0，
故函數(shù)f（x）在它的定義域（-1，+∞）上是增函數(shù)．
再由f（x）＞0在它的定義域（-1，+∞）上恒成立，
可得f（-1）=a-1≥0，解得 a≥1．
故a的范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．