Question

如圖，A是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P在該單位圓上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），點(diǎn)Q滿足

PQ

=

QA

，三角形OAP的面積記為S．則

OA

•

OQ

+S的最大值是（　�。�

• A、

  2

  4

• B、

  2 +1

  2

• C、

  2

  2

• D、

  2 +1

  4

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由題意可得，Q是線段PA的中點(diǎn)，OQ⊥PA，∠AOQ=

θ

2

∈（0，

π

2

），分別求得S和

OA

•

OQ

的值，利用三角恒等變換可得

OA

•

OQ

+S=

2

2

sin（θ+

π

4

）+

1

2

，由此可得

OA

•

OQ

+S的最大值．

解答： 解：由題意可得，Q是線段PA的中點(diǎn)，∴OQ⊥PA，∠AOQ=

θ

2

∈（0，

π

2

），
∴S=

1

2

•OA•OP•sinθ=

1

2

sinθ，

OA

•

OQ

=OA•OQ•cos

θ

2

=OQ²=cos2

θ

2

．
∴

OA

•

OQ

+S=cos2

θ

2

+

1

2

sinθ=

1

2

（cosθ+sinθ）+

1

2

=

2

2

sin（θ+

π

4

）+

1

2

，
故當(dāng)θ=

π

4

時(shí)，

OA

•

OQ

+S取得最大值為

2 +1

2

，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，三角恒等變換，直角三角形中的邊角關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．