Question

（2010•北京模擬）在△ABC中，已知∠A=

π

3

，邊BC=2

3

，設∠B=x，△ABC的周長為y．
（Ⅰ）若x=

π

4

，求邊AC的長；
（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的解析式，并寫出它的定義域；
（Ⅲ）求函數(shù)y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)正弦定理可以直接得出結果．
（II）由內(nèi)角A=

π

3

，邊BC=2

3

，設內(nèi)角B=x，周長為y，我們結合三角形的性質(zhì)，△ABC的內(nèi)角和A+B+C=π，△ABC的周長y=AB+BC+AC，我們可以結合正弦定理求出函數(shù)的解析式，及自變量的取值范圍．
（III）要求三角函數(shù)的值域，我們要利用輔助角公式，將函數(shù)的解析式，化為正弦型函數(shù)的形式，再根據(jù)正弦型函數(shù)的進行求解．

解答：解：（I）A=

π

3

，B=

π

4

，BC=2

3

，由正弦定理，得：

AC

sin π 4

=

BC

sin π 3

，
∴AC=

BC•sin π 4

sin π 3

=

2 3 × 2 2

3 2

=2

2

（3分）
（II）△ABC的內(nèi)角和A+B+C=π，且A=

π

3

，B=x，C＞0，∴C=

2π

3

-x＞0，0＜x＜

2π

3

．（4分）
由正弦定理，知

2 3

sin π 3

=

b

sinx

=

c

sin( 2π 3 -x)

，即

b=4sinx c=4sin( 2π 3 -x)

所以y=4sinx+4sin(

2π

3

-x)+2

3

(0＜x＜

2π

3

)..（6分）（沒寫定義域或?qū)戝e扣1分）
（III）由（II）知，y=4sinx+4sin(

2π

3

-x)+2

3

(0＜x＜

2π

3

)
=6sinx+2

3

cosx+2

3

=4

3

sin(x+

π

6

)+2

3

(

π

6

＜x+

π

6

＜

5π

6

)   （8分）
由正弦函數(shù)的圖象知，當

π

6

＜x+

π

6

＜

5π

6

時，有

1

2

＜sin(x+

π

6

)≤1．
于是，4

3

＜4

3

sin(x+

π

6

)+2

3

≤6

3

，
所以，函數(shù)y=4sinx+4sin(

2π

3

-x)+2

3

(0＜x＜

2π

3

)的值域是(4

3

，6

3

]  （10分）

點評：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，值域由A確定，周期由ω決定，即要求三角函數(shù)的周期與最值一般是要將其函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)，再根據(jù)最大值為|A|，最小值為-|A|，周期T=

2π

ω

進行求解．