Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinωx•cosωx+2cos²ωx-1（ω＞0，x∈R），f（x）是以T=π為周期．
（1）求f（x）的解析式及在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值與最小值；
（2）若f（x₀）=

6

5

，x₀∈[

π

4

，

π

2

]，求cos2x₀．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的正弦,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角恒等變換可求得f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），由其周期為π易知ω=1，從而可求x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值與最小值；
（2）依題意，可求得sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

，cos（2x₀+

π

6

）=-

4

5

，利用兩角差的余弦可求得cos2x₀的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2

3

sinωx•cosωx+2cos²ωx-1
=

3

sin2ωx+cos2ωx
=2sin（2ωx+

π

6

），
∵ω＞0，T=

2π

2ω

=π，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
由x∈[0，

π

2

]知，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）_max=2，f（x）_min=-1；
（2）∵f（x₀）=2sin（2x₀+

π

6

）=

6

5

，
∴sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

，
∵x₀∈[

π

4

，

π

2

]，
∴2x₀+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]，
∴cos（2x₀+

π

6

）=-

1-sin2(2x0+ π 6 )

=-

4

5

，
∴cos2x₀=cos[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]
=cos（2x₀+

π

6

）cos

π

6

+sin（2x₀+

π

6

）sin

π

6

=-

4

5

×

3

2

+

3

5

×

1

2

=

3-4 3

10

．

點評：本題考查三角恒等變換的應(yīng)用，著重考查兩角和與差的余弦與同角三角函數(shù)間的關(guān)系，考查運算求解能力，屬于中檔題．