Question

15．已知F是拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，O為拋物線的頂點(diǎn)，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，點(diǎn)N在拋物線上．
（1）求直線MN的斜率的取值范圍，記λ=$\frac{{|{MN}|}}{{|{NF}|}}$，求λ的取值范圍；
（2）過(guò)點(diǎn)N的拋物線的切線交x軸于點(diǎn)P，則x_N+x_P是否為定值？
（3）在給定的拋物線上過(guò)已知定點(diǎn)P，給出用圓規(guī)與直尺作過(guò)點(diǎn)P的切線的作法．

Answer 1

分析 （1）直線$MN：y=k（{x+\frac{p}{2}}）$，聯(lián)立y²=2px，利用判別式求直線MN的斜率的取值范圍，記λ=$\frac{{|{MN}|}}{{|{NF}|}}$，并求λ的取值范圍；
（2）設(shè)切線方程為y-y_N=k（x-x_N），聯(lián)立y²=2px，利用判別式可得x_P=-x_N，即可確定x_N+x_P=0；
（3）過(guò)P做x軸垂線，交x軸于點(diǎn)Q，在x軸負(fù)半軸上截取ON=OQ，連接NP即可．

解答 解：（1）直線$MN：y=k（{x+\frac{p}{2}}）$，聯(lián)立y²=2px得，${k^2}{x^2}+（{{k^2}p-2p}）x+\frac{{{p^2}{k^2}}}{4}=0$
△≥0，解得$k∈[{-1，1}]，λ=\sqrt{1+{k^2}}$，∴$λ∈[{1，\sqrt{2}}]$．
（2）設(shè)切線方程為y-y_N=k（x-x_N），
聯(lián)立y²=2px得，${k^2}{x^2}-2（{{k^2}{x_N}+p-k{y_N}}）x+{（{{y_N}-k{x_N}}）^2}=0，△=0$，
∴2k²x_N+p=2ky_N，
即${k^2}y_N^2+{p^2}-2k{y_N}p=0，{（{k{y_N}-p}）^2}=0$，
∴ky_N=p，${x_P}={x_N}-\frac{y_N}{k}={x_N}-\frac{y_N^2}{p}={x_N}-\frac{{2p{x_N}}}{p}=-{x_N}$，即x_N+x_P=0．
（3）過(guò)P做x軸垂線，交x軸于點(diǎn)Q，在x軸負(fù)半軸上截取ON=OQ，連接NP，即為切線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線切線的作法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．