已知四棱錐P-ABCD，PB^AD，側(cè)面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°．

    （1）求點P到平面ABCD的距離；

    （2）求面APB與面CPB所成二面角的大�。�

答案：
解析：

（1）作PO^平面ABCD，垂足為點O，連結(jié)OB、OA、OD，OB與AD交于點E，連PE．∵ AD^PB，∴ AD^OB，∵ PA=PD，∴ OA=OD．于是OB平分AD，點E為AD的中點，∴ PE^AD．

    由此可知ÐPEB為面PAD與面ABCD所成二面角的平面角．∴ ÐPEB=120°

    ÐPEO=60°，由已知可求得PE=．

    ∴ ．即點P到平面ABCD的距離為．

    （2）取PB中點G，PC的中點F，連結(jié)EG、AG、GF，

    則AG^PB，FG∥BC，FG=BC

    ∵ AD^PB，∴ BC^PB，FG^PB

    ∴ ÐAGF是所求二面角的平面角．

    ∵ AD^面POB，∴ AD^EG．

    又∴ PE=BE，∴ EG^PB，且ÐPEG=60°．

    在RtDPEG中，EGPE×cos60°=．

    在RtDGAE中，AE=AD=1，于是tanÐGAE=

    又ÐAGF=p-ÐGAE

    ∴ 所求二面角大小為p-arctan．


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點，F(xiàn)為AD的中點．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，側(cè)面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中點．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求證：PA⊥BD
（3）若二面角D-PA-O的余弦值為
10
5
，求PB的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E為BC中點，AE與BD交于O點，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
（1）求證：平面PAE⊥平面ABCD； 
（2）若直線PA與平面ABCD所成角的正切值為
5
2
，PO=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是線段PC上一點，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）若PA=4，AB=2，BC=1，求直線AC與平面PCD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年山東省濟寧一中高三（上）期末數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點，F(xiàn)為AD的中點．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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