Question

橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，兩焦點F1，F(xiàn)2之間的距離為2，橢圓上第一象限內(nèi)的點P滿足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面積為1．

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若橢圓C的右頂點為A，直線l：y＝kx＋m(k≠0)與橢圓C交于不同的兩點M，N，且滿足AM⊥AN．求證：直線l過定點，并求出定點的坐標．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1 （2）見解析

【解析】(1)設橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)，因為|F1F2|＝2，所以c＝，由S△PF1F2＝1，得|PF1||PF2|＝2，又由PF1⊥PF2，得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12，即(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝12，即4a2－4＝12，a2＝4，b2＝a2－3＝1，所以橢圓C的標準方程為＋y2＝1．

(2)由方程組，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，

Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)>0，整理得4k2－m2＋1>0．

設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝．

由AM⊥AN且橢圓的右頂點為A(2,0)，得(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，

因為y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，

所以(1＋k2)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4＝0，

即(1＋k2)·＋(km－2)·＋m2＋4＝0，

整理得：5m2＋16mk＋12k2＝0，

解得m＝－2k或m＝－，均滿足4k2－m2＋1>0．

當m＝－2k時，直線的l方程為y＝kx－2k，過定點(2,0)，與題意矛盾，舍去；

當m＝－時，直線l的方程為y＝k(x－)，過定點(，0)，符合題意．

故直線l過定點，且定點的坐標為(，0)．