Question

19．已知等比數列{a_n}，滿足a₁=1，a₂₀₁₆=2，函數y=f（x）的導函數為y=f′（x），且f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₂₀₁₆），那么f′（0）=2¹⁰⁰⁸．

Answer 1

分析 由題意，設g（x）=（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₂₀₁₆），利用導數的運算，得到f'（x），得到所求為g（0）．

解答 解：由已知，設g（x）=（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₂₀₁₆），則f（x）=xg（x），
f'（x）=g（x）+xg'（x），
所以f'（0）=g（0）=（-a₁）（-a₂）…（-a₂₀₁₆）=a₁a₂…a₂₀₁₆，
等比數列{a_n}，滿足a₁=1，a₂₀₁₆=2，得到a₁a₂…a₂₀₁₆=（a₁a₂₀₁₆）¹⁰⁰⁸=2¹⁰⁰⁸；
故答案為：2¹⁰⁰⁸．

點評 本題考查了等比數列的性質運用以及導數的運算；關鍵是轉化為兩個函數的積的導數運算．