Question

某校舉行中學(xué)生“日常生活小常識(shí)”知識(shí)比賽，比賽分為初賽和復(fù)賽兩部分，初賽采用選手從備選題中選一題答一題的方式進(jìn)行；每位選手最多有5次答題機(jī)會(huì)，選手累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止比賽，答對(duì)3題者直接進(jìn)入復(fù)賽，答錯(cuò)3題者則被淘汰．已知選手甲答對(duì)每個(gè)題的概率均為

2

3

，且相互間沒有影響．
（Ⅰ）求選手甲進(jìn)入復(fù)賽的概率；
（Ⅱ）設(shè)選手甲在初賽中答題的個(gè)數(shù)為X，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由于答對(duì)3題者直接進(jìn)入決賽，故可分為三類：一類是三題全對(duì)；一類是答4題，前3題錯(cuò)一題，第4題答對(duì)；一類是答5題，前4題錯(cuò)兩題，第5題答對(duì)，故可求求選手甲可進(jìn)入決賽的概率；
（Ⅱ）依題意，X的可能取值為3，4，5．利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式分別求出相應(yīng)的概率，從而得出X的分布列，進(jìn)而可求數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)選手甲任答一題，正確的概率為P，則P=

2

3

，
記選手甲進(jìn)入復(fù)賽為事件A，則甲選答3道題目后進(jìn)入復(fù)賽的概率為(

2

3

)3=

8

27

，
或選手甲答了4個(gè)題，前3個(gè)2對(duì)1錯(cuò)，第4次對(duì)進(jìn)入復(fù)賽，∴

C

2 3

(

2

3

)2

1

3

2

3

=

8

27

，----（4分）
或選手甲答了5個(gè)題，前4個(gè)2對(duì)2錯(cuò)，第5次對(duì)進(jìn)入復(fù)賽，∴

C

2 4

(

2

3

)2(

1

3

)2

2

3

=

16

81

----（6分）
∴選手甲進(jìn)入復(fù)賽的概率P(A)=

8

27

+

8

27

+

16

81

=

64

81

----（7分）
（Ⅱ）由題意知，X可取3，4，5，則
P（X=3）=(

2

3

)3+(

1

3

)3=

1

3

；P（X=4）=

C

2 3

(

2

3

)3•

1

3

•

2

3

+

C

2 3

•(

1

3

)2•

2

3

•

1

3

=

10

27

；
P（X=5）=

C

2 4

•(

2

3

)2•(

1

3

)2•

2

4

+

C

2 4

•(

2

3

)2•(

1

3

)2•

1

3

=

8

27

，
X的分布列

X	3	4	5
P	1 3	10 27	8 27

∴EX=

107

27

----（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是離散型隨機(jī)變量的期望與方差，主要考查等可能事件的概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式．