已知
a
=(1,2),
b
=(-2,1),k,t∈R+
x
=
a
+(t2+1)
b
,
y
=-k
a
+
1
t
b

(1)若
x
y
垂直,寫出k與t的函數(shù)解析式,并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值;
(2)是否存在k,t使
x
y
平行?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由.
考點(diǎn):數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系,平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示
專題:平面向量及應(yīng)用
分析:(1)利用向量垂直的坐標(biāo)公式,即可得到相應(yīng)的關(guān)系式,
(2)利用向量平行的共線定理,建立條件關(guān)系,然后判斷即可.
解答: 解:(1)∵
a
=(1,2),
b
=(-2,1),
a
b
=-2+2=0
,|
a
|=
5
,|
b
|=
5

x
y
垂直,則
x
y
=0,
即-k
a
2
+(t2+1)•
1
t
b
2=0.
∴k=(t2+1)•
1
t
=t+
1
t
,
∵k,t∈R+,
∴k=t+
1
t
≥2
t•
1
t
=2

函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞減,在[1,+∞)上遞增.
即函數(shù)的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為[1,+∞).
(2)∵
x
=
a
+(t2+1)
b
y
=-k
a
+
1
t
b
,
若存在k,t使
x
y
平行,
y
=-k
x
,
即-k
a
+
1
t
b
=-k(
a
+(t2+1)
b
)=-k
a
-k(t2+1)
b
,
1
t
=-k(t2+1),
∵k,t∈R+,
∴等式左邊大于0,等式右邊小于0,則方程不可能成立,
故不存在k,t使
x
y
平行.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查向量平行和垂直的應(yīng)用,要求熟練掌握向量平行和垂直的坐標(biāo)公式,考查學(xué)生的計(jì)算能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2-ax-6a<0},若A∩B=A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合M={x|-1≤x<2},N={x|x-a≤0},若M∩N≠∅,則a的取值范圍是( 。
A、(-∞,2]
B、(-1,+∞)
C、[-1,+∞)
D、[-1,1]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
6
3
,且過點(diǎn)(3,-1).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若動(dòng)點(diǎn)P在直線l:x=-2
2
上,過P作直線交橢圓C于M,N兩點(diǎn),使得PA=PN,再過P作直線l′⊥MN,證明:直線l′恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,△ABC在平面α內(nèi),∠ACB=90°,AB=2BC=2,P為平面α外一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且PC=
3
,∠PBC=60°
(Ⅰ)問當(dāng)PA的長為多少時(shí),AC⊥PB.
(Ⅱ)當(dāng)△PAB的面積取得最大值時(shí),求直線PC與平面PAB所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,△ABC在平面α內(nèi),∠ACB=90°,AB=2BC=2,P為平面α外一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且PC=
3
,∠PBC=60°
(Ⅰ)問當(dāng)PA的長為多少時(shí),AC⊥PB.
(Ⅱ)當(dāng)△PAB的面積取得最大值時(shí),求直線BC與平面PAB所成角的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

6個(gè)人站在一排,分別求出在下列情況中各有多少種不同排法?
(1)甲不站右端,也不站左端;
(2)甲、乙站在左、右兩端;
(3)甲不站在左端,乙不站在右端.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,AD為BC邊上的高,已知:AC=b;AB=c,AD=BC,求
b
c
+
c
b
的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓M的離心率為
1
2
,橢圓上異于長軸頂點(diǎn)的任意點(diǎn)A與左右兩焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2構(gòu)成的三角形中面積的最大值為
3

(Ⅰ)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn)P(4,0),聯(lián)結(jié)AP與橢圓的另一交點(diǎn)記為B,若AP與橢圓相切則視為A,B重合,聯(lián)結(jié)BF2與橢圓的另一交點(diǎn)記為C,求
PA
F2C
的取值范圍.

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