Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)（提示：）．

Answer 1

【答案】(1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，極小值為；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：(1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)求導(dǎo)得．利用導(dǎo)數(shù)工具可得：當(dāng)時(shí)，取得極小值；（2）由（1）可知取得極小值，亦即最小值為：

，又，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)工具得有唯一的零點(diǎn)，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又由于恒成立恒成立恒成立當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)．

試題解析：(1）因?yàn)?/span>，

所以．

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．

當(dāng)時(shí)，取得極小值．

（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，取得極小值，亦即最小值．

，又因?yàn)?/span>，所以，

設(shè)，則．

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，且，

所以有唯一的零點(diǎn)，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

又由于．

所以恒成立，從而恒成立，則恒成立．

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)．