若非零不共線向量
a
、
.
b
滿足|
a
-
.
b
|=|
.
b
|,則下列結(jié)論正確的個數(shù)是
3
3

①向量
a
、
.
b
的夾角恒為銳角;  ②2|
.
b
|2
a
.
b
;  ③|2
.
b
|>|
a
-2
.
b
|;  ④|2
a
|<|2
a
-
.
b
|.
分析:對于①,利用已知條件,推出向量
a
.
b
、
a
-
b
組成的三角形是等腰三角形,判定正誤即可.
對于②,利用數(shù)量積公式,結(jié)合已知條件,判斷正誤. 對于③,通過平方以及向量的數(shù)量積判斷正誤.
對于④,|2
a
|<|2
a
-
.
b
|等價于 4|
a
|cos<
a
,
b
><|
b
|,不一定成立,說明正誤即可.
解答:解:∵非零不共線向量
a
、
.
b
滿足|
a
-
.
b
|=|
.
b
|,∴向量
a
、
.
b
、
a
-
b
 組成的三角形是等腰三角形,
且向量
a
為底邊,故向量
a
、
.
b
的夾角恒為銳角,①正確.
②2|
.
b
|2
a
.
b
 等價于2|
.
b
|2>|
a
|•|
b
|•cos<
a
,
b
>,等價于2|
b
|>|
a
|•cos<
a
,
b
>.
而由|
a
-
.
b
|=|
.
b
|可得|
a
-
.
b
|+|
.
b
|=2|
.
b
|>|
a
|>|
a
|•cos<
a
b
>,即 2|
b
|>|
a
|•cos<
a
,
b
>成立,
故②正確.
③|2
.
b
|>|
a
-2
.
b
|等價于 4
b
2
a
2
-4
a
b
+4
b
2
,等價于 4
a
b
a
2

等價于 4|
a
|•|
b
|cos<
a
,
b
>>
a
2
,等價于  4|
b
|cos<
a
,
b
>>|
a
|.
而 2|
b
|cos<
a
,
b
>=|
a
|,∴4|
b
|cos<
a
,
b
>>|
a
|成立,故正確.
④|2
a
|<|2
a
-
.
b
|等價于 4
a
2
<4
a
2
-4
a
b
+
b
2
,等價于 4
a
b
b
2
,
等價于 4|
a
|cos<
a
,
b
><|
b
|,不一定成立,所以④不正確.
故答案為 3.
點評:本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用,向量的模的求法,考查計算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若非零不共線向量
a
、
b
滿足|
a
-
b
|=|
b
|,則下列結(jié)論正確的個數(shù)是( 。
①向量
a
b
的夾角恒為銳角;
②2|
b
|2
a
b
;
③|2
b
|>|
a
-2
b
|;
④|2
a
|<|2
a
-
b
|.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

若非零不共線向量
a
、
.
b
滿足|
a
-
.
b
|=|
.
b
|,則下列結(jié)論正確的個數(shù)是______.
①向量
a
、
.
b
的夾角恒為銳角;  ②2|
.
b
|2
a
.
b
;  ③|2
.
b
|>|
a
-2
.
b
|;  ④|2
a
|<|2
a
-
.
b
|.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年陜西省咸陽市八方中學(xué)高三(上)12月月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

若非零不共線向量、滿足|-|=||,則下列結(jié)論正確的個數(shù)是( )
①向量、的夾角恒為銳角;
②2||2;
③|2|>|-2|;
④|2|<|2-|.
A.1
B.2
C.3
D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:同步題 題型:單選題

若非零不共線向量a、b滿足|a-b|=|b|,則下列結(jié)論正確的個數(shù)是
①向量ab的夾角恒為銳角;
②2|b|2>a·b;
③|2b|>|a-2b|;
④|2a|<|2a-b|
[     ]
A.1
B.2
C.3
D.4

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