Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，且b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=
（1）求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)a_n；
（2）記 ，試比較T_n與的大小．

Answer 1

解：（1）等比數(shù)列{b_n}的公比為q，結(jié)合題意可得
，解之得，q=3或q=-4（負(fù)值舍去），a₂=6
∴{a_n}的公差d=a₂-a₁=3，可得a_n=3+（n-1）×3=3n．
（2）由（1），得到{a_n}的前n項(xiàng)和為，
∴
由此可得：
=．
∴
令＜0，得n＜5，故 n=1，2，3，4；令=0，得n=5；令＞0，得n＞5
∴當(dāng)n=1，2，3，4時(shí)，；當(dāng)n=5時(shí)，；當(dāng) n＞5（n∈N₊）時(shí)，．
分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合題意建立關(guān)于q和a₂的方程組，解之可得a₂=6，進(jìn)而得到{a_n}的公差d=a₂-a₁=3，用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）根據(jù)（1）中求出的{a_n}的通項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列求和公式得出，從而化簡(jiǎn)出，用裂項(xiàng)法求出T_n=，最后根據(jù)n與5的大小關(guān)系進(jìn)行討論，即可得到T_n與的大小的幾種情況．
點(diǎn)評(píng)：本題給出等差、等比數(shù)列模型，求通項(xiàng)公式并比較{a_n}的前n項(xiàng)和的倒數(shù)和與的大小．著重考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，以及用不等式比較大小等知識(shí)，屬于中檔題．