Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1），（a＞0）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當n∈N⁺時，證明：（1+

1

2

）（1+

1

22

+）（1+

1

23

）…（1+

1

2n

）＜e．其中（e≈2.718…即自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

（1）f（x）定義域為（0，+∞）…（1分）
求導數(shù)，得f′ (x)=

1

x

-a=

1-ax

x

…（2分）
令f’ (x)=0，x1=0，x2=

1

a

當0＜x＜

1

a

時，f′（x）＞0；當x＞

1

a

時，f′（x）＜0…（3分）
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(0，

1

a

)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(

1

a

，+∞)，…（4分）
因此，f（x）的極大值為f(

1

a

)=-lna-1+a，無極小值…（5分）
（2）∵函數(shù)f（x）在（1，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，
∴f′ (x)=

1

x

-a≤0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立．（7分）
∵x＞1，可得0＜

1

x

＜1
∴a≥1，即實數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）…（9分）
（3）由（2）得當a=1時，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

∴f(x)=lnx-(x-1)＜f(1)=0

，可得

lnx＜x-1，(x＞1)

…（10分）
令x=1+

1

2n

，可得ln（1+

1

2n

）＜

1

2n

…（11分）
分別取n=1，2，3，…，n得
ln（1+

1

2

）+ln（1+

1

22

）+ln（1+

1

23

）+…+ln（1+

1

2n

）＜

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=1-

1

2n

＜1…（13分）
即ln[（1+

1

2

）（1+

1

22

）（1+

1

23

）…（1+

1

2n

）]＜lne
可得（1+

1

2

）（1+

1

22

+）（1+

1

23

）…（1+

1

2n

）＜e，對任意的n∈N^*成立．