Question

已知直線y=k（x+1）與拋物線C：y²=-x交于A、B，
（1）若△AOB面積為

10

，求k的值．
（2）求證：以AB為直徑的圓必過原點．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用直線與拋物線聯(lián)立方程組，通過韋達定理，推出AN兩點縱橫坐標的關(guān)系，設(shè)直線與x軸交于N，求出N（-1，0），利用S_△OAB=S_△OAN+S_△ONB，通過△OAB的面積等于

10

，即可求k的值．
（2）求出OA與OB的斜率乘積等于-1，即可得到以AB為直徑的圓過坐標系的原點O．

解答： （1）解：設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）設(shè)直線與x軸交于N，又k≠0，
∴令y=0，則x=-1，即N（-1，0），
由題意可得方程組

y2=-x y=k(x+1)

，
消去x可得ky²+y-k=0，
由韋達定理可得y₁+y₂=-

1

k

，y₁•y₂=-1，
∴S_△OAB=S_△OAN+S_△ONB=

1

2

|ON||y₁-y₂|=

1

2

•

1 k2 +4

=

10

解得k=±

1

6

．
（2）證明：∵A、B在拋物線y²=-x上，
∴y₁²=-x₁，y₂²=-x₂，y₁²y₂²=x₁x₂，
∵k_OA•k_OB=

y1y2

x1x2

=

1

y1y2

-1；
∴OA⊥OB，
故以AB為直徑的圓過坐標系的原點O．

點評：本題考查直線與拋物線的關(guān)系，韋達定理的應(yīng)用，三角形面積的轉(zhuǎn)化，考查計算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．