已知函數(shù)f(x)=
x+
9
x
,(x>0)
2x-1,(x≤0)

(1)求證:函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3]上是單調(diào)減函數(shù),在區(qū)間[3,+∞)上是單調(diào)增函數(shù);
(2)求函數(shù)f(x)在x∈[-2,-1]∪[3,6]上的值域.
分析:(1)任設(shè)xx<x2,且x1∈(0,+∞),x2∈(0,+∞),分當(dāng)0<xx<x2≤3時(shí)和當(dāng)3≤xx<x2時(shí)兩種情況,討論差式f(x1)-f(x2)=
(x1-x2)
x1x2
(x1x2-9)
的符號(hào),結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義,可得結(jié)論;
(2)由(1)中結(jié)論,可得x∈[3,6]時(shí),6=f(3)≤f(x)≤f(6)=
15
2
,結(jié)合x∈[-2,-1]時(shí),f(x)=2x-1為增函數(shù),即-5=f(-2)≤f(x)≤f(-1)=-3,綜合討論結(jié)果可得答案.
解答:證明:(1)任設(shè)xx<x2,且x1∈(0,+∞),x2∈(0,+∞)
f(x1)-f(x2)=x1+
9
x1
-(x2+
9
x2
)=
(x1-x2)
x1x2
(x1x2-9)

當(dāng)0<xx<x2≤3時(shí),x1x2-9<0,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,
則f(x1)>f(x2);
故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3]上是單調(diào)減函數(shù),
當(dāng)3≤xx<x2時(shí),x1x2-9<0,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,
則f(x1)>f(x2);
故函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,+∞)上是單調(diào)增函數(shù).
解:(2)因?yàn)閇3,6]⊆[3,+∞),
且根據(jù)(1)知,f(x)在區(qū)間[3,6]上是單調(diào)增函數(shù),
則x∈[3,6]時(shí),6=f(3)≤f(x)≤f(6)=
15
2

當(dāng)x∈[-2,-1]時(shí),f(x)=2x-1為增函數(shù)
故-5=f(-2)≤f(x)≤f(-1)=-3
綜上,函數(shù)f(x)在x∈[-2,-1]∪[3,6]上的值域?yàn)?span id="soyisob" class="MathJye">[-5,-3]∪[6,
15
2
].
點(diǎn)評:本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,單調(diào)性法求函數(shù)的值域,熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的證明方法和步驟是解答的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù),且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實(shí)數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請求出a的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:浙江省東陽中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知函數(shù)f(x)、g(x),下列說法正確的是( )
A.f(x)是奇函數(shù),g(x)是奇函數(shù),則f(x)+g(x)是奇函數(shù)
B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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