【題目】△ABC中,角A,B,C對邊的邊長分別是a,b,c,且a(cosB+cosC)=b+c.
(1)求證:A;
(2)若△ABC外接圓半徑為1,求△ABC周長的取值范圍.
【答案】(1) 見解析(2) (4,2+2]
【解析】
(1)根據余弦定理求得cosB,和cosC代入題設等式中,整理得(b+c)(a2﹣b2﹣c2)=0進而求得a2=b2+c2.判斷出A.
(2)根據直角三角形外接圓的性質可求得a,進而求得b+c的表達式,進而根據B的范圍確定b+c的范圍,進而求得三角形周長的范圍.
解:(1)證明:∵a(cosB+cosC)=b+c
∴由余弦定理得aab+c.
∴整理得(b+c)(a2﹣b2﹣c2)=0.
∵b+c>0,∴a2=b2+c2.故A.
(2)∵△ABC外接圓半徑為1,A,∴a=2.
∴b+c=2(sinB+cosB)=2sin(B).
∵0<B,∴B,∴2<b+c≤2.
∴4<a+b+c≤2+2,
故△ABC周長的取值范圍是(4,2+2].
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)甲,乙兩個研發(fā)小組,他們研發(fā)新產品成功的概率分別為和,現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產品,乙組研發(fā)新產品.設甲,乙兩組的研發(fā)是相互獨立的.
(1)求至少有一種新產品研發(fā)成功的概率;
(2)若新產品研發(fā)成功,預計企業(yè)可獲得萬元,若新產品研發(fā)成功,預計企業(yè)可獲得利潤萬元,求該企業(yè)可獲得利潤的分布列和數學期望.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)對現(xiàn)有設備進行了改造,為了了解設備改造后的效果,現(xiàn)從設備改造前后生產的大量產品中各抽取了100件產品作為樣本,檢測其質量指標值,若質量指標值在內,則該產品視為合格品,否則視為不合格品.圖1是設備改造前的樣本的頻率分布直方圖,表1是設備改造后的樣本的頻數分布表.
(1)完成列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認為該企業(yè)生產的這種產品的質量指標值與設備改造有關:
設備改造前 | 設備改造后 | 合計 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合計 |
(2)根據圖1和表1提供的數據,試從產品合格率的角度對改造前后設備的優(yōu)劣進行比較;
(3)企業(yè)將不合格品全部銷毀后,根據客戶需求對合格品進行等級細分,質量指標值落在內的定為一等品,每件售價180元;質量指標值落在或內的定為二等品,每件售價150元;其他的合格品定為三等品,每件售價120元.根據頻數分布表1的數據,用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有合格產品中抽到一件相應等級產品的概率.現(xiàn)有一名顧客隨機購買兩件產品,設其支付的費用為(單位:元),求的分布列和數學期望.
附:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,一塊長方形區(qū)域,,,在邊的中點處有一個可轉動的探照燈,其照射角始終為,設,探照燈照射在長方形內部區(qū)域的面積為.
(1)求關于的函數關系式;
(2)當時,求的最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知實數,定義域為的函數是偶函數,其中為自然對數的底數.
(Ⅰ)求實數值;
(Ⅱ)判斷該函數在上的單調性并用定義證明;
(Ⅲ)是否存在實數,使得對任意的,不等式恒成立.若存在,求出實數的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某旅游景點有50輛自行車供游客租賃使用,管理這些自行車的費用是每日115元。根據經驗,若每輛自行車的日租金不超過6元,則自行車可以全部租出;若超過6元,則每提高1元,租不出去的自行車就增加3輛.規(guī)定:每輛自行車的日租金不超過20元,每輛自行車的日租金元只取整數,并要求出租所有自行車一日的總收入必須超過一日的管理費用,用表示出租所有自行車的日凈收入(即一日中出租所以自行車的總收入減去管理費用后的所得).
(1)求函數的解析式及定義域;
(2)試問日凈收入最多時每輛自行車的日租金應定為多少元?日凈收入最多為多少元?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設橢圓的右焦點為,過點作與軸垂直的直線交橢圓于,兩點(點在第一象限),過橢圓的左頂點和上頂點的直線與直線交于點,且滿足,設為坐標原點,若,,則該橢圓的離心率為( )
A. B. C. 或 D.
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