Question

(本題滿分13分) 已知函數(shù),函數(shù)

（I）當時,求函數(shù)的表達式;

（II）若,且函數(shù)在上的最小值是2 ,求的值;

（III）對于（II）中所求的a值，若函數(shù)，恰有三個零點，求b的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數(shù).（Ⅱ）。

【解析】

試題分析： （1）先求解函數(shù)f(x)的導函數(shù)，進而得到第一問的解析式。

（2）∵由⑴知當時,,

分析導數(shù)的正負號，進而判定極值，得到最值。

（3）

所以，方程，有兩個不等實根運用轉(zhuǎn)化思想來得到。

解: （Ⅰ）∵,

∴當時,; 當時,

∴當時,; 當時,.

∴當時,函數(shù).  （4分）

（Ⅱ）∵由⑴知當時,,

∴當時, 當且僅當時取等號.由，得a=1 (8分)

令，得或x=b

（1）若b>1,則當0<x<1時，，當1<x<b,時，當x>b時，；

（2）若b<1,且b則當0<x<b時，，當b<x<1時，，當x>1時，

所以函數(shù)h(x)有三個零點的充要條件為或解得或 

綜合： （13分）

另解：

所以，方程，有兩個不等實根，且不含零根

解得：  （13分）

考點：本題主要考查了函數(shù)的最值和函數(shù)的零點的綜合運用

點評：解決該試題的關鍵是運用導數(shù)的思想來判定函數(shù)單調(diào)性，進而分析極值，得到最值，同時對于方程根的問題可以轉(zhuǎn)換為圖像的交點問題解決。