Question

【題目】

如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為.一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和.

（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明；

（Ⅲ）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（Ⅱ）=1．（Ⅲ）存在常數(shù)使得恒成立，

【解析】

試題(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意知：，

2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2.

又a2＝b2＋c2，因此b＝2.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.

由題意設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1(m＞0)，因?yàn)榈容S雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，所以m＝2，因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.

(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則k1＝，k2＝.

因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線x2－y2＝4上，所以x－y＝4.

因此k1·k2＝·＝＝1，即k1·k2＝1.

(3)由于PF1的方程為y＝k1(x＋2)，將其代入橢圓方程得(2k＋1)x2－8kx＋8k－8＝0，

顯然2k＋1≠0，顯然Δ＞0.由韋達(dá)定理得x1＋x2＝，x1x2＝.

所以|AB|＝

＝.

同理可得|CD|＝.

則，

又k1·k2＝1，

所以.

故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|.

因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．