已知函數(shù)滿足:對任意,都有成立,且時,
(1)求的值,并證明:當(dāng)時,
(2)判斷的單調(diào)性并加以證明;
(3)若上遞減,求實數(shù)的取值范圍.
(1)2;(2)函數(shù)上是增函數(shù);(3)

試題分析:(1)用賦值法可求得的值。,則,那么.用賦值法令中的,整理出的關(guān)系式,用表示出,因為有的范圍所以可求出的范圍。(2)由(1)知時,,,時,,所以在R上。在R上任取兩個實數(shù)并可設(shè),根據(jù)已知可用配湊法令在代入上式找出的關(guān)系。在比較的大小時,在本題中采用作商法與1比較大小。(3)由(2)知函數(shù)上是增函數(shù)。當(dāng),函數(shù)上也是增函數(shù),不合題意故舍。當(dāng)上單調(diào)遞減,此時只需的最大值小于等于k即可。
試題解析:(1)令,則,
,解得
,令,則,
與已知條件矛盾.
所以
設(shè),則,那么.


,從而
(2)函數(shù)上是增函數(shù).
設(shè),由(1)可知對任意






,即
函數(shù)上是增函數(shù)。
(3)由(2)知函數(shù)上是增函數(shù).
函數(shù)上也是增函數(shù),
若函數(shù)上遞減,
時,,
時,
時,
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那么       

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