已知橢圓+=1經(jīng)過點(diǎn)P(,),離心率是,動(dòng)點(diǎn)M(2,t)(t>0)
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求以O(shè)M為直徑且別直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程;
(3)設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn),過點(diǎn)F做OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N,證明線段ON長是定值,并求出定值.

【答案】分析:(1)由橢圓+=1離心率是,設(shè)橢圓方程設(shè)為,把點(diǎn)P(,)代入,得,由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)以O(shè)M為直徑的圓的圓心是(1,),半徑r=,方程為,由以O(shè)M為直徑圓直線3x-4y-5=0截得的弦長為2,知,由此能求出所求圓的方程.
(3)設(shè)N(x,y),點(diǎn)N在以O(shè)M為直徑的圓上,所以x2+y2=2x+ty,又N在過F垂直于OM的直線上,所以2x+ty=2,由此能求出ON.
解答:解:(1)∵橢圓+=1經(jīng)過點(diǎn)P(,),
離心率是,
∴橢圓方程設(shè)為
把點(diǎn)P(,)代入,
,
解得4k2=2,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
(2)以O(shè)M為直徑的圓的圓心是(1,),
半徑r=,
方程為
∵以O(shè)M為直徑圓直線3x-4y-5=0截得的弦長為2,
∴圓心(1,)到直線3x-4y-5=0的距離d=,
,
解得t=4,
∴所求圓的方程是(x-1)2+(y-2)2=5.
(3)設(shè)N(x,y),
點(diǎn)N在以O(shè)M為直徑的圓上,
所以x(x-2)+y(y-t)=0,
即:x2+y2=2x+ty
又N在過F垂直于OM的直線上,
所以,
即2x+ty=2,
所以
點(diǎn)評(píng):本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,簡單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力;考查函數(shù)與方程思想,化歸與轉(zhuǎn)化思想.綜合性強(qiáng),難度大,易出錯(cuò).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
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12

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