已知f（x）=
x
1+x2
是定義在（-1，1）上的函數(shù)．
（1）證明f（-x）=-f（x）；
（2）利用函數(shù)單調性的定義證明：f（x）是定義域上的增函數(shù)．
考點：函數(shù)單調性的判斷與證明
專題：函數(shù)的性質及應用
分析：（1）求f（-x）即可得到f（-x）=-f（x）；
（2）設x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，根據(jù)單調性的定義證明f（x1）＜f（x2）即可．
解答： 證：（1）f（-x）=
-x
1+x2
=-f(x)，即f（-x）=-f（x）；
（2）設-1＜x1＜x2＜1，則：
f(x1)-f(x2)=
x1
1+x12
-
x2
1+x22
=
(x2-x1)(x1x2-1)
(1+x12)(1+x22)
；
∵-1＜x1＜x2＜1，∴x2-x1＞0，x1x2-1＜0；
∴f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）是（-1，1）上的增函數(shù)．
點評：考查函數(shù)單調性的定義，以及根據(jù)單調性的定義證明函數(shù)的單調性．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖已知△ABC，∠C=90°，|
CA
|=|
CB
|=2，D是AB中點，P是邊AC上的一個動點，則
DP
•
BC
的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

討論函數(shù)f（x）=x2-2ax+3在（-2，2）內的單調性．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若f（x）=ax在[-1，2]上的最大值為4，最小值為m，且g（x）=（4m）x為減函數(shù)，則a=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=1且an+1=（1+
1
n2+n
）an+
1
2n
（n≥1），求證：an≤e2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

四面體S-ABC中，已知SA⊥AB，AB⊥BC，|
SA
|=3，|
AB
|=4，|
BC
|=5，|
SC
|=
35
，則二面角S-AB-C的大小為（　�。�
A、
π
3
B、
2
3
π
C、
π
6
D、
5
6
π

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求函數(shù)y=
4a2+x2
+
(x-a)2+a2
的最小值（a＞0）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
π
2
），y=f（x）的部分圖象如圖所示，若f（x0）=
3
，則x0等于（　　）
A、
π
24
B、
kπ
2
+
π
24
，k∈Z
C、kπ+
π
3
，k∈Z
D、
Kπ
2
+
π
3
，k∈Z

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=log 
1
2
（x+x-4）的零點所在的區(qū)間為
 
．

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