已知數(shù)列｛｝中，點(diǎn)（）在直線y=x上，其中n=1,2,3….

(Ⅰ)令

(Ⅱ)求數(shù)列

(Ⅲ)設(shè)的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出.若不存在,則說(shuō)明理由。

解：（I）由已知得， 

∵，

又

，

∴

∴是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.

（II）由（I）知，

∴

∴

∴

將以上各式相加得：

∴

∴

 ∴        

（III）解法一：

存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.

∵

數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是（、是常數(shù)

即

又

∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列.

解法二：

存在，使數(shù)列是等差數(shù)列.

由（I）、（II）知，

∴

又

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，前n項(xiàng)和為Sn，且點(diǎn)P（an，an+1）（n∈N*）在直線x-y+1=0上．
（1）求證：{an}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
=Tn，求證Tn＜2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=
1
2
，對(duì)一切n∈N+，點(diǎn)（n，2an+1-an）在直線y=x上，
（Ⅰ）令bn=an+1-an-1，求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求通項(xiàng)bn；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（Ⅲ）設(shè)Sn、Tn分別為數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和，是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{
Sn+λTn
n
}為等差數(shù)列？若存在，試求出λ若不存在，則說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2an-2（n∈N*），在數(shù)列{bn}中，b1=1，點(diǎn)P（bn，bn+1）在直線x-y+2=0上．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）記Tn=a1b1+a2b2+…+anbn，求Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年江西省高三第三次月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分13分）

已知數(shù)列｛｝中，對(duì)一切，點(diǎn)在直線y=x上，

(Ⅰ)令，求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求通項(xiàng)（4分）；

(Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式（4分）；

(Ⅲ)設(shè)的前n項(xiàng)和,是否存在常數(shù)，使得數(shù)列 為等差數(shù)列？若存在，試求出  若不存在,則說(shuō)明理由（5分）.

 

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