Question

3．已知函數(shù)f（x）的定義域為{x|x∈R且x≠0}，對于定義域內(nèi)的任意x₁，x₂，都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當(dāng)x＞1時，f（x）＞0．
（1）求證：f（x）是偶函數(shù)；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）如果f（ax+1）≤f（x-2）在x∈[$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x₁=x₂=1，由題設(shè)求得f（1）=0；令x₁=x₂=-1，求得f（-1）=0；再令x₁=x，x₂=-1，可得f（-x）=f（x），即可得證；
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，則$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，由條件可得f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0．再由f（x₂）=f（x₁•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），結(jié)合條件，以及單調(diào)性的定義，即可得證；
（3）運用偶函數(shù)的單調(diào)性，可得|ax+1|≤|x-2|，且x∈[$\frac{1}{2}$，1]，去絕對值，運用參數(shù)分離和函數(shù)的單調(diào)性，可得最值，進(jìn)而得到a的范圍．

解答 證明：（1）定義域內(nèi)的任意x₁，x₂，都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），
可令x₁=x₂=1，可得f（1）=2f（1），即f（1）=0；
令x₁=x₂=-1，可得f（1）=2f（-1），即f（-1）=0；
再令x₁=x，x₂=-1，可得f（-x）=f（x）+f（-1），
即有f（-x）=f（x），
故f（x）為偶函數(shù)；
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，則$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
當(dāng)x＞1時，f（x）＞0，可得f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0．
f（x₂）=f（x₁•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）=f（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞f（x₁），
由單調(diào)性的定義，可得f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
解：（3）由f（x）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，
可得f（ax+1）≤f（x-2），
等價為|ax+1|≤|x-2|，且x∈[$\frac{1}{2}$，1]，
即有|ax+1|≤2-x，
則x-2≤ax+1≤2-x，即有1-$\frac{3}{x}$≤a≤$\frac{1}{x}$-1在x∈[$\frac{1}{2}$，1]恒成立，
由（1-$\frac{3}{x}$）_max=-2，（$\frac{1}{x}$-1）_min=0，
可得-2≤a≤0，
則a的取值范圍是[-2，0]．

點評 本題考查抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷及應(yīng)用，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用偶函數(shù)的性質(zhì)和參數(shù)分離，函數(shù)的單調(diào)性求最值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．