Question

已知函數(shù)f（x）=2^3x-1+1過定點A，且點A在直線l：3mx+ny=4（m＞0，n＞0）上，則

1

m

+

1

2n

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)2⁰=1，可得函數(shù)f（x）=2^3x-1+1過定點A(

1

3

，2)．又點A在直線l：3mx+ny=4（m＞0，n＞0）上，可得m+2n=4．再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：∵f(

1

3

)=2⁰+1=2，
∴函數(shù)f（x）=2^3x-1+1過定點A(

1

3

，2)．
又點A在直線l：3mx+ny=4（m＞0，n＞0）上，
∴3m×

1

3

+2n=4，即m+2n=4．
∴

1

m

+

1

2n

=

1

4

(m+2n)(

1

m

+

1

2n

)=

1

4

(2+

2n

m

+

m

2n

)≥

1

4

(2+2

2n m • m 2n

)=1，
當(dāng)且僅當(dāng)m=2n=2時取等號．
故

1

m

+

1

2n

的取值范圍是[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．

點評：本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)2⁰=1、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．