Question

已知M是以點(diǎn)C為圓心的圓（x+1）²+y²=8上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)D（1，0）．點(diǎn)P在DM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足．動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）線段AB是曲線E的長(zhǎng)為2的動(dòng)弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB面積S的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由．知NP為DM的垂直平分線，所以|ND|=|NM|，動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（-1，0），D（1，0）為焦點(diǎn)的長(zhǎng)軸為的橢圓．由此能求出軌跡E的方程．
（Ⅱ）線段AB的長(zhǎng)等于橢圓短軸的長(zhǎng)，要使三點(diǎn)A、O、B能構(gòu)成三角形，則弦AB不能與x軸垂直，故可設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，由，得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再由根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．
解答：解：（Ⅰ）∵=0．
∴NP為DM的垂直平分線，∴|ND|=|NM|，
又∵|CN|+|NM|=2，∴|CN|+|DN|=2＞2．（3分）
∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（-1，0），D（1，0）為焦點(diǎn)的長(zhǎng)軸為2的橢圓．
∴軌跡E的方程為=1．（5分）
（Ⅱ）∵線段AB的長(zhǎng)等于橢圓短軸的長(zhǎng)，要使三點(diǎn)A、O、B能構(gòu)成三角形，則弦AB不能與x軸垂直，故可設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，
由，
消去y，并整理，得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-，x₁x₂=（8分）
∵|AB|=2，∴=2．
∴（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=4，
∴，
∴，（11分）
∵1+k²≥1∴＜1． （12分）
又點(diǎn)O到直線AB的距離h=，
∴S=|AB|•h=h
∴S²=h²=2b²（1-b²）=（13分）
∴0＜S²≤，∴0＜S≤．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的靈活運(yùn)用．