Question

12．已知函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，若對任意x∈（0，+∞），都有f（f（x）-x³）=2，且函數(shù)g（x）=$\frac{{x}^{2}lnx}{f（x）-1}$-a有且只有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x³+1，代入并化簡g（x），構(gòu)造函數(shù)h（x）與y=a，利用導(dǎo)數(shù)求出h（x）的最值，在同一坐標(biāo)系中畫出y=h（x）與y=a的圖象，根據(jù)函數(shù)圖象求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，對任意x∈（0，+∞），都有f（f（x）-x³）=2，
∴必存在唯一的正實(shí)數(shù)t，
滿足f（x）-x³=t，f（t）=2，①
∴f（t）-t³=t，②
由①②得：2-t³=t，
解得t=1，
∴f（x）=x³+1，
∴g（x）=$\frac{{x}^{2}lnx}{{x}^{3}+1-1}$-a=$\frac{lnx}{x}$-a；
設(shè)h（x）=$\frac{lnx}{x}$，x＞0，
∴h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令h′（x）=0，解得x=e；
∴當(dāng)x∈（0，e）時，h′（x）＞0，h（x）是增函數(shù)，
x∈（e，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）是減函數(shù)，
∴x=e時h（x）取得最大值為h（e）=$\frac{1}{e}$；
在同一坐標(biāo)系中畫出y=h（x）與y=a的圖象，如圖所示；
則兩函數(shù)圖象有兩個不同的交點(diǎn)時，應(yīng)滿足0＜a＜$\frac{1}{e}$，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$）．
故答案為：（0，$\frac{1}{e}$）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合運(yùn)用問題，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，是較難的題目．