Question

已知函數(shù)f（x）=x²+lnx-ax．
（Ⅰ）當a=3時，求f（x）的單調增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，求a得取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的結論下，設g（x）=x²+|x-a|，（1≤x≤3），求函數(shù)g（x）的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）當a=3時，f（x）=x²+lnx-3x；
∴
由f′（x）＞0得，；
故所求f（x）的單調增區(qū)間為
（Ⅱ）．
∵f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
∴在（0，1）上恒成立，即恒成立．
∵（當且僅當時取等號）．
所以．
當時，易知f（x）在（0，1）上也是增函數(shù)，
所以．　
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
當a≤1時，g（x）=x²+x-a在區(qū)間[1，3]上是增函數(shù)
所以g（x）的最小值為g（1）=2-a．　　　　
當時，　
因為函數(shù)g（x）在區(qū)間[a，3]上是增函數(shù)，在區(qū)間[1，a]上也是增函數(shù)，
所以g（x）在[1，3]上為增函數(shù)，
所以g（x）的最小值為g（1）=a．
所以，當a≤1時，g（x）的最小值為2-a；
當時，g（x）的最小值為a．
分析：（Ⅰ）求單調增區(qū)間，先求導，令導函數(shù)大于等于0即可．（Ⅱ）已知f（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)，即f′（x）≥0在區(qū)間（0，1）上恒成立，然后用分離參數(shù)求最值即可．
（Ⅲ）去絕對值符號，轉化為二次函數(shù)在定區(qū)間上求最值問題，對對稱軸討論．
點評：此題是難題．考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，體現(xiàn)了分類討論和轉化的思想方法，考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力．