Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x-16．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，-6）處的切線的方程；
（2）直線l為曲線y=f（x）的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）如果曲線y=f（x）的某一切線與直線y=-x+3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程．

Answer 1

解：（1）可判定點(diǎn)（2，-6）在曲線y=f（x）上．
∵f′（x）=（x³+x-16）′=3x²+1，
∴在點(diǎn)（2，-6）處的切線的斜率為k=f′（2）=13．
∴切線的方程為y=13（x-2）+（-6），即y=13x-32；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則直線l的斜率為f′（x₀）=3x₀²+1，
∴直線l的方程為y=（3x₀²+1）（x-x₀）+x₀³+x₀-16，
又∵直線l過點(diǎn)（0，0），
∴0=（3x₀²+1）（-x₀）+x₀³+x₀-16，
整理得，x₀³=-8，
∴x₀=-2，
∴y₀=（-2）³+（-2）-16=-26，
k=3×（-2）²+1=13．
∴直線l的方程為y=13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-26）．
（3）∵切線與直線y=-+3垂直，
∴切線的斜率k=4．
設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則f′（x₀）=3x₀²+1=4，
∴x₀=±1，
∴或
切線方程為y=4（x-1）-14或y=4（x+1）-18．
即y=4x-18或y=4x-14．
分析：（1）經(jīng)過判斷發(fā)現(xiàn)（2，-6）是曲線上的點(diǎn)，求出曲線方程的導(dǎo)函數(shù)，把x=2代入導(dǎo)函數(shù)中即可求出切線方程的斜率，根據(jù)求出的斜率和已知點(diǎn)的坐標(biāo)寫出切線方程即可；
（2）設(shè)出切線方程的切點(diǎn)坐標(biāo)，把設(shè)出的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中即可表示出切線方程的斜率，根據(jù)設(shè)出的切點(diǎn)坐標(biāo)和表示出的斜率寫出切線方程，把原點(diǎn)代入切線方程中化簡可求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，把橫坐標(biāo)代入曲線方程即可求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，且得到切線的斜率，根據(jù)斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)寫出切線的方程即可；
（3）根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，由已知直線的斜率求出切線方程的斜率為4，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中表示出切線的斜率，并讓其值等于列出切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，求出方程的解即可得到切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)橫坐標(biāo)求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫出切線方程即可．
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，掌握兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，是一道綜合題．