Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（

x

3

）=

1

2

f（x），且當(dāng)0≤x₁＜x₂≤1時(shí)．f（x₁）≤f（x₂），求f（

1

2013

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知條件，可求出f（0）=1，f（1）=1，再因?yàn)楫?dāng)0≤x₁＜x₂≤1時(shí)，有f（x₁）≤f（x₂），可找到f（

1

2013

）的范圍為f（

1

1458

）＜f（

1

2013

）＜f（

1

2187

），求出f（

1

1458

），f（

1

2187

）的值，為同一個(gè)值，所以f（

1

2013

）的值也等于這個(gè)值．

解答： 解：∵f（x）+f（1-x）=1，
令x=0，可得f（0）+f（1）=1，又f（0）=0，
∴f（1）=1，
再令x=

1

2

，
可得f（

1

2

）+f（

1

2

）=1，
∴f（

1

2

）=1，
∵f（

x

3

）=

1

2

f（x），
∴f（

1

3

）=

1

2

f（1）=

1

2

，
∵

1

1458

＞

1

2013

＞

1

2187

且當(dāng)0≤x₁＜x₂≤1時(shí)，有f（x₁）≤f（x₂），
∴f（

1

1458

）＜f（

1

2013

）＜f（

1

2187

），
∵f（

1

1458

）=

1

2

f（

1

486

）=

1

22

f（

1

162

）=…=

1

26

f（

1

2

）=

1

27

，
f（

1

2187

）=f（

1

37

）=

1

2

f（

1

36

）=

1

22

f（

1

35

）=…=

1

27

f（1）=

1

27

∴f（

1

2013

）=

1

27

=

1

128

點(diǎn)評(píng)：本這道題考查了抽象函數(shù)，運(yùn)用了賦值法、迭代法、兩邊夾的性質(zhì)求解，對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力有很高的要求，有一定難度．