已知函數(shù)f(x)是定義在[-e,0)∪(0,e]上的奇函數(shù),當(dāng)x∈(0,e]時(shí),f(x)=ax+lnx(其中e是自然界對數(shù)的底,a∈R)
(1)求f(x)的解析式;
(2)設(shè)g(x)=
ln|x|
|x|
,x∈[-e,0)
,求證:當(dāng)a=-1時(shí),f(x)>g(x)+
1
2
;
(3)是否存在實(shí)數(shù)a,使得當(dāng)x∈[-e,0)時(shí),f(x)的最小值是3?如果存在,求出實(shí)數(shù)a的值;如果不存在,請說明理由.
分析:(1)先設(shè)x∈[-e,0)則-x∈(0,e],再求出f(-x)利用函數(shù)是奇函數(shù)求出f(x),最后用分段函數(shù)表示出函數(shù)的解析式;
(2)由(1)知x∈[-e,0)時(shí)f(x)的解析式,再構(gòu)造函數(shù)h(x)=
ln(-x)
-x
+
1
2
,分別求出這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)和符號,判斷出它們在區(qū)間[-e,0)的單調(diào)性,并求出f(x)的最小值和h(x)的最大值,判斷出最小值比最大值大,則不等式成立;
(3)先假設(shè)存在實(shí)數(shù)a滿足條件,再求出x∈[-e,0)時(shí)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=a-
1
x
=
ax-1
x
,對a的符號分類討論來確定f'(x)的符號,進(jìn)而判斷出在區(qū)間[-e,0)上的單調(diào)性,求出最小值和m的值,注意驗(yàn)證范圍是否符合.
解答:解:(1)設(shè)x∈[-e,0),則-x∈(0,e],∴f(-x)=-ax+ln(-x),
又∵f(x)是定義在[-e,0)∪(0,e]上的奇函數(shù),
∴f(x)=-f(-x)=ax-ln(-x),
∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=
ax-ln(-x),x∈[-e,0)
ax+lnx,x∈(0,e]


(2)證明:當(dāng)x∈[-e,0)且a=-1時(shí),f(x)=-x-ln(-x),g(x)=
ln(-x)
-x

設(shè)h(x)=
ln(-x)
-x
+
1
2
,
f′(x)=-1-
1
x
=-
x+1
x
,
∴當(dāng)-e≤x≤-1時(shí),f'(x)≤0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)-1<x<0時(shí),f'(x)>0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增,
∴f(x)min=f(-1)=1>0,
又∵h′(x)=
ln(-x)-1
x2

∴當(dāng)-e≤x<0時(shí),h'(x)≤0,此時(shí)h(x)單調(diào)遞減,
h(x)max=h(-e)=
1
e
+
1
2
1
2
+
1
2
=1=f(x)min

∴當(dāng)x∈[-e,0)時(shí),f(x)>h(x),即f(x)>g(x)+
1
2


(3)解:假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使得當(dāng)x∈[-e,0)時(shí),f(x)=ax-ln(-x)有最小值是3,
f′(x)=a-
1
x
=
ax-1
x

(。┊(dāng)a=0,x∈[-e,0)時(shí),f′(x)=-
1
x
>0
.f(x)在區(qū)間[-e,0)上單調(diào)遞增,
f(x)min=f(-e)=-1,不滿足最小值是3
(ⅱ)當(dāng)a>0,x∈[-e,0)時(shí),f'(x)>0,f(x)在區(qū)間[-e,0)上單調(diào)遞增,
f(x)min=f(-e)=-ae-1<0,也不滿足最小值是3
(ⅲ)當(dāng)-
1
e
≤a<0
,由于x∈[-e,0),則f′(x)=a-
1
x
≥0
,
故函數(shù)f(x)=ax-ln(-x)是[-e,0)上的增函數(shù).
∴f(x)min=f(-e)=-ae-1=3,解得a=-
4
e
<-
1
e
(舍去)
(ⅳ)當(dāng)a<-
1
e
時(shí),則
當(dāng)-e≤x<
1
a
時(shí),f′(x)=a-
1
x
<0
,此時(shí)函數(shù)f(x)=ax-ln(-x)是減函數(shù);
當(dāng)
1
a
<x<0
時(shí),f′(x)=a-
1
x
>0
,此時(shí)函數(shù)f(x)=ax-ln(-x)是增函數(shù).
f(x)min=f(
1
a
)=1-ln(-
1
a
)=3
,解得a=-e2
綜上可知,存在實(shí)數(shù)a=-e2,使得當(dāng)x∈[-e,0)時(shí),f(x)有最小值3.
點(diǎn)評:本題是一道綜合題,考查了利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式;構(gòu)造函數(shù)再求其導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)最值證明不等式成立問題;對含有參數(shù)用分類討論思想判斷導(dǎo)函數(shù)的符號再求出函數(shù)的最值,本題綜合性強(qiáng)且計(jì)算量大,應(yīng)是難度很大的題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2x+2-x
2
,g(x)=
2x-2-x
2
,
(1)計(jì)算:[f(1)]2-[g(1)]2;
(2)證明:[f(x)]2-[g(x)]2是定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
的定義域?yàn)椋?,+∞),且f(2)=2+
2
2
.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M、N.
(1)求a的值.
(2)問:|PM|•|PN|是否為定值?若是,則求出該定值;若不是,請說明理由.
(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),求四邊形OMPN面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)
是f(x)圖象上的兩點(diǎn),橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P滿足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(Ⅰ)求證:y1+y2為定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn;
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若Tn<m(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)是f(x)圖象上的兩點(diǎn),且x1+x2=1.
(1)求證:y1+y2為定值;
(2)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)(n∈N*,N≥2),求Sn;
(3)在(2)的條件下,若an=
1
6
 ,n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
(n∈N*),Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.求Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線y=m與兩個(gè)相鄰函數(shù)的交點(diǎn)為A,B,若m變化時(shí),AB的長度是一個(gè)定值,則AB的值是( 。

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