Question

（1）已知某個幾何體的三視圖如圖（主視圖的弧線是半圓），根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，求這個組合體的體積；
（2）已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，P為棱A₁B₁上一點，BC=10，CD=10，CC₁=4，求AP+PC₁的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）幾何體是一個簡單的組合體，上面是一個半圓柱，底面的半徑是2，母線長是10，下面是一個四棱柱，四棱錐的底面是邊長為8的正方形，高是10，做出兩個幾何體的體積求和．
（2）長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是棱A₁B₁上一動點，求AP+PC₁的最小值可將以A₁B₁為相交棱的兩個側(cè)面展開成一個平面，從平面上可以看出當三點A、P、C₁在一條直線上時，AP+PC₁的值最小，此時線段恰好是直角三角形的斜邊．由勾股定理求值即可．
解答：解：由三視圖知，幾何體是一個簡單的組合體，
上面是一個半圓柱，底面的半徑是2，母線長是10，
∴半圓柱的體積是×π×2²×8=16π
下面是一個四棱柱，
四棱錐的底面是邊長為8的正方形，
四棱柱的高是10，
∴四棱柱的體積是8×8×10=640，
∴組合體的體積是16π+640
（2）將長方體的側(cè)面沿棱A₁B₁展開成一個平面，則AP+PC₁的最小值即為線段AC₁的值，
又BC=10，CD=10，CC₁=4，故直角三角形ABC₁中兩條直角邊的長度分別為BC₁=14，AB=10，
由勾股定理得AC₁==2，
即AP+PC₁的最小值為2
點評：本題（1）考查由三視圖求幾何體的體積，考查由三視圖還原幾何圖形，本題考查的幾何體是一個組合體，上面的圓柱的一半比較特殊，需要仔細觀察，圓柱的擺放方式和常見的擺放方式不同．
本題（2）考點是點、線、面間的距離計算，考查對長方體結(jié)構(gòu)特征的了解，本題把求拆線長度的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍髢牲c間距離的問題，將一個立體幾何中求長度的問題轉(zhuǎn)化為平面中兩點線段的長度體現(xiàn)了數(shù)學中化歸的思想，立體幾何中的問題有不少都是借助化歸思想將空間中的問題轉(zhuǎn)化到平面中解決，大大降低了解題的難度．