在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（
6
2
，
2
），且點(diǎn)F（0，-1）為其一個(gè)焦點(diǎn)．   
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A1，A2，不在y軸上的動(dòng)點(diǎn)P在直線y=b2上運(yùn)動(dòng)，直線PA1，PA2分別與橢圓E交于點(diǎn)M，N，證明：直線MN通過一個(gè)定點(diǎn)，且△FMN的周長(zhǎng)為定值．

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（Ⅰ）根據(jù)題意可得
3
2a2
+
2
b2
=1
b2-a2=1

可解得
a=
3
b=2

∴橢圓E的方程為
x2
3
+
y2
4
=1…（4分）
（Ⅱ）不妨設(shè)A1（0，2），A2（0，-2）
P（x0，4）為直線y=4上一點(diǎn)（x0≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）
直線PA1方程為y=
2
x0
x+2，直線PA2方程為y=
6
x0
x-2
點(diǎn)M（x1，y1），A1（0，2）的坐標(biāo)滿足方程組
x2
3
+
y2
4
=1
y=
2
x0
x+2
可得
x1=
-6x0
3+x0
y1=
2x20
-6
3+x0

點(diǎn)N（x2，y2），A2（0，-2）的坐標(biāo)滿足方程組
x2
3
+
y2
4
=1
y=
6
x0
x-2
    可得
x2=
18x0
27+
x20
y2=
-2
x20
+54
27+
x20

由于橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在直線y=4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MN通過的定點(diǎn)必在y軸上，
當(dāng)x0=1時(shí)，直線MN的方程為y+1=
4
3
(x+
3
2
)，令x=0，得y=1可猜測(cè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1），并記這個(gè)定點(diǎn)為B
則直線BM的斜率kBM=
y1-1
x1
=
2
x20
-6
3+
x20
-1
-6x0
3+
x20
=
9-
x20
6x0

直線BN的斜率kBN=
y2-1
x2
=
-2
x20
+54
27+
x20
-1
18x0
27+
x20
=
9-
x20
6x0

∴kBM=kBN，即M，B，N三點(diǎn)共線，故直線MN通過一個(gè)定點(diǎn)B（0，1），
又∵F（0，-1），B（0，1）是橢圓E的焦點(diǎn)，
∴△FMN周長(zhǎng)=|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上，且滿足PF=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線QA1，QA2分別交x軸于點(diǎn)S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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