Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在閉區(qū)間[a，b]⊆D，使得函數(shù)f（x）滿足：
（1）f（x）在[a，b]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
（2）f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇2a，2b]，則稱區(qū)間[a，b]為y=f（x）的“美麗區(qū)間”．
下列函數(shù)中存在“美麗區(qū)間”的是

①③④

 （只需填符合題意的函數(shù)序號(hào)）．
①f（x）=x²（x≥0）；   ②f（x）=e^x（x∈R）； ③f（x）=

1

x

(x＞0)；     ④f（x）=

4x

x2+1

(x≥0)．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)中存在“美麗區(qū)間”，則：①f（x）在[a，b]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②

f(a)=2a f(b)=2b

或

f(a)=2b f(b)=2a

，對(duì)四個(gè)函數(shù)分別研究，從而確定存在“美麗區(qū)間”的函數(shù)．

解答：解：①．若f（x）=x²（x≥0），若存在“美麗區(qū)間”[a，b]，
則此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則由

f(a)=2a f(b)=2b

，得

a2=2a b2=2b

，∴

a=0 b=2

，
∴f（x）=x²（x≥0）存在“美麗區(qū)間”[0，2]，∴①正確．
②，若f（x）=e^x（x∈R），若存在“美麗區(qū)間”[a，b]，
則此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則由

f(a)=2a f(b)=2b

，得

ea=2a eb=2b

，
即a，b是方程e^x=2x的兩個(gè)不等的實(shí)根，
構(gòu)建函數(shù)g（x）=e^x-2x，
∴g′（x）=e^x-2，
∴函數(shù)在（-∞，ln2）上單調(diào)減，在（ln2，+∞）上單調(diào)增，
∴函數(shù)在x=ln2處取得極小值，且為最小值．
∵g（ln2）=2-ln2＞0，
∴g（x）＞0，
∴e^x-2x=0無(wú)解，故函數(shù)不存在“美麗區(qū)間”，∴②不正確；
③，∵f（x）=

1

x

，在（0，+∞）上是減函數(shù)，若存在“美麗區(qū)間”[a，b]，
則

f(a)=2b f(b)=2a

，得

1 a =2b 1 b =2a

，
∴滿足ab=

1

2

的區(qū)間[a，b]都是“美麗區(qū)間”，故③正確；
④．若函數(shù)f（x）=

4x

x2+1

（x≥0），
f′（x）=

4(x2+1)-4x•2x

(x2+1)2

=

4(1-x)(x+1)

(x2+1)2

，
若存在“美麗區(qū)間”[a，b]⊆[0，1]，
則由

f(a)=2a f(b)=2b

，得

4a a2+1 =2a 4b b2+1 =2b

，
∴a=0，b=1，
∴存在“美麗區(qū)間”[0，1]，∴④正確．
故答案是①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了與函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)的新定義問題，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，難度較大．