Question

【題目】如圖所示，已知三棱錐中，底面是等邊三角形，且，分別是的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

試題分析：（1）連接，因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，由等腰三角形及等邊三角形的性質(zhì)可得，從而利用線面垂直的判定定理可得結(jié)果；（2）先根據(jù)勾股定理證明與垂直，再以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面的一個法向量為，利用向量垂直數(shù)量積為零，列方程組求出平面的一個法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式可求得二面角的余弦值.

試題解析：(1)連接，因?yàn)?/span>，底面等邊三角形，

又因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，

所以

又因?yàn)?/span>，

所以平面.

（2）因?yàn)?/span>，

由（1）可知，

而，所以

以為原點(diǎn)，以的方向?yàn)?/span>軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，，，

由題得平面的一個法向量為.

設(shè)平面的一個法向量為

所以，即

令得

所以，

所以

由題意知二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.