【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側面ABB1A1為矩形,AB=2,AA1=2,D是AA1的中點,BD與AB1交于點O,且CO⊥ABB1A1平面.
(1)證明:BC⊥AB1;
(2)若OC=OA,求直線CD與平面ABC所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
試題分析:(1)要證明,可證明垂直于所在平面,已知垂直于側面,所以垂直于,只要在矩形垂直與即可,可利用角的關系加以證明;(2)分布以所在的直線為軸,以為原點,建立空間直角坐標系,求出,平面一個法向量,利用向量的夾角公式,即可得出結論.
試題解析:證明:由題意,因為ABB1A1是矩形,
D為AA1中點,AB=2,AA1=2,AD=,
所以在直角三角形ABB1中,tan∠AB1B==,
在直角三角形ABD中,tan∠ABD==,
所以∠AB1B=∠ABD,
又∠BAB1+∠AB1B=90°,∠BAB1+∠ABD=90°,
所以在直角三角形ABO中,故∠BOA=90°,即BD⊥AB1,又因為CO⊥側面ABB1A1,
AB1側面ABB1A1,所以CO⊥AB1所以,AB1⊥面BCD,因為BC面BCD
所以BC⊥AB1.
(Ⅱ)解:如圖,分別以OD,OB1,OC所在的直線為x,y,z軸,以O為原點,建立空間直角坐標系,則A(0,﹣,0),B(﹣,0,0),C(0,0,),B1(0,,0),D(,0,0),
又因為=2,所以
所以=(﹣,,0),=(0,,),=(,,),
=(,0,﹣),
設平面ABC的法向量為=(x,y,z),
則根據可得=(1,,﹣)是平面ABC的一個法向量,
設直線CD與平面ABC所成角為α,則sinα=,
所以直線CD與平面ABC所成角的正弦值為.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某公司計劃在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過 300 分鐘的廣告,廣告總費用不超過9萬元.甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘.甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告,能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.設該公司在甲、乙兩個電視臺做廣告的時間分別為分鐘和分鐘.
(Ⅰ)用列出滿足條件的數學關系式,并畫出相應的平面區(qū)域;
(Ⅱ)該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺做廣告的時間使公司的收益最大,并求出最大收益是多少?
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【題目】函數,定義函數,給出下列命題:
①;
②函數是偶函數;
③當a<0時,若0<m<n<1,則有F(m)﹣F(n)<0成立;
④當a>0時,函數有4個零點.
其中正確命題的序號為________________________ .
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【題目】某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1,A2,A3和3個歐洲國家B1,B2,B3中選擇2個國家去旅游.
(1)若從這6個國家中任選2個,求這2個國家都是亞洲國家的概率;
(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各選1個,求這兩個國家包括A1,但不包括B1的概率.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】拋物線頂點在原點,焦點在x軸上,且過點(4,4),焦點為F.
(1)求拋物線的焦點坐標和標準方程;
(2)P是拋物線上一動點,M是PF的中點,求M的軌跡方程.
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