Question

如圖所示在直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=，OA=OS=AB=1，OC=4，
點(diǎn)M是棱SB的中點(diǎn)，N是OC上的點(diǎn)，且ON：NC=1：3，以O(shè)C，OA，OS所在直線(xiàn)
建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
（1）求異面直線(xiàn)MN與BC所成角的余弦值；
（II）求MN與面SAB所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，再求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再求的相關(guān)向量的坐標(biāo)，最后用向量夾角公式求解．
（2）欲求MN與面SAB所成的角的正弦值，先利用待定系數(shù)法求出平面SAB的一個(gè)法向量，最后用向量夾角公式求解即可．
解答：解：如圖建系，則S（0，0，1）C（4，0，0）A（0，1，0）B（1，1，0）
所以N（1，0，0）M（（2分）
（1）=（-3，1，0）cos＜（5分）
∴直線(xiàn)MN與BC所成角的余弦值為（6分）

（2）設(shè)平面SAB的一個(gè)法向量為
則=（a，b，c）•（1，1，-1）=a+b-c=0=（a，b，c）•（0，1，-1）=b-c=0
令b=1可得法向量（8分）
cos＜（9分）
∴直線(xiàn)MN與面SAB所成角的正弦值為（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用向量法研究直線(xiàn)與平面所成的角和異面直線(xiàn)所成的角，選用向量法，避開(kāi)了作輔助線(xiàn)，優(yōu)越性很強(qiáng)，作為理科要注意應(yīng)用．