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13.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-x-4xx1(x<0),g(x)=x2+bx-2(x>0),b∈R,若f(x)圖象上存在兩個不同點(diǎn)A,B與g(x)圖象上兩點(diǎn)A′,B′關(guān)于y軸對稱,則b的取值范圍是(42-5,1).

分析 根據(jù)題意條件等價為f(-x)=g(x)在(0,+∞)上有兩個不同的解,利用參數(shù)分離法,構(gòu)造函數(shù),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可得到結(jié)論.

解答 解:∵(x)圖象上存在兩個不同點(diǎn)A,B與g(x)圖象上兩點(diǎn)A′,B′關(guān)于y軸對稱,
∴f(-x)=g(x)在(0,+∞)上有兩解,即x-4xx+1=bx-2有兩解,整理得b=x2x+2x2+x=1-2x2x2+x
設(shè)h(x)=x2x+2x2+x,則h′(x)=2x1x2+xx2x+22x+1x2+x2=2x22x1x2+x2
令h′(x)=0,得x2-2x-1=0,解得x=1+2或x=1-2(舍).
當(dāng)0<x<1+2時,h′(x)<0,函數(shù)h(x)遞減,
當(dāng)x>1+2時,h′(x)>0,函數(shù)h(x)遞增,
則當(dāng)x=1+2時,h(x)取得極小值h(1+2)=3+2212+23+22+1+2=2+432+4=42-5,
當(dāng)x→+∞時,h(x)→1,
∵b=h(x)有兩解,∴b<1.
∴b的取值范圍是(42-5,1).
故答案為(42-5,1).

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,考查函數(shù)圖象的對稱變換,函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)及位置的判定,根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為f(-x)=g(x)在(0,+∞)上有兩個不同的解是解決本題的關(guān)鍵.,綜合性強(qiáng),難度較大.

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