Question

已知關(guān)于x的函數(shù)g（x）=|-x²+2bx+c|在區(qū)間[-1，1]上的最大值為M．
（1）當(dāng)b=1，c=2時(shí)，求M的值．
（2）若|b|＞1，證明對(duì)任意的c，都有M＞2．

Answer 1

考點(diǎn)：帶絕對(duì)值的函數(shù),二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）將b=1，c=2代入函數(shù)的表達(dá)式，畫出函數(shù)圖象，從而求出M的值；
（2）代入整理g（x）=||-（x-b）²+b²+c|，結(jié)合|b|＞1的條件判斷函數(shù)g（x）的對(duì)稱軸與區(qū)間[-1，1]的位置關(guān)系，從而求出該函數(shù)在[-1，1]上的最大值M，則M≥g（1），M≥g（-1），可證．

解答： 解：（1）b=1，c=2時(shí)，
g（x）=|-x²+2x+2|，x∈[-1，1]，
畫出g（x）的圖象，
如圖示：
，
∴x=1時(shí)，M=g（x）_max=g（1）=3；
（2）g（x）=|-（x-b）²+b²+c|
當(dāng)|b|＞1時(shí)，函數(shù)y=g（x）的對(duì)稱軸x=b位于區(qū)間[-1，1]之外．
∴g（x）在[-1，1]上的最值在兩端點(diǎn)處取得
故M應(yīng)是g（-1）和g（1）中較大的一個(gè)，
∴2M≥g（1）+g（-1）=|-1+2b+c|+|-1-2b+c|≥|4b|＞4，即M＞2．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力和分類類討論的思想．