Question

16．函數(shù)f（x）=x²+bsinx+cosx+c，x∈[-π，π]為偶函數(shù)，且f（x）的最小值為0，則f（x）值域中的最大整數(shù)為7．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出b=0，然后求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的最小值求出c，利用最大值求出f（x）的最大值即可．

解答 解：∵f（x）=x²+bsinx+cosx+c，x∈[-π，π]為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），即x²-bsinx+cosx+c=x²+bsinx+cosx+c，
則-b=b，則b=0，
即f（x）=x²+cosx+c，x∈[-π，π]為偶函數(shù)，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x-sinx=x+x-sinx，
當(dāng)x＞0時(shí)，x＞sinx，則f′（x）=2x-sinx=x+x-sinx＞0，
即函數(shù)f（x）在[0，π]上是增函數(shù)，
∴函數(shù)的最小值為f（0）=cos0+c=c+1=0，
則c=-1，則函數(shù)的最大值為f（π）=f（-π）=π²+cosπ-1=π²-2≈7.87，
∴f（x）值域中的最大整數(shù)為7，
故答案為：7

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．