如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知,,是橢圓上不同的三點(diǎn),,在第三象限,線段的中點(diǎn)在直線上.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)設(shè)動點(diǎn)在橢圓上(異于點(diǎn),,)且直線PBPC分別交直線OA,兩點(diǎn),證明為定值并求出該定值.

(1);(2);(3)

解析試題分析:(1)已知橢圓過兩點(diǎn),可把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入方程列出關(guān)于的方程組,然后把分別作為整體,方程組就變?yōu)槎淮畏匠探M,從而可很快解得;(2)關(guān)鍵是線段的中點(diǎn)在直線上,可設(shè),由線段中點(diǎn)為,而直線的方程可求得,代入可得的一個(gè)方程,點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程又得另一方程,聯(lián)立可解得點(diǎn)坐標(biāo);(3)這類問題我們采取設(shè)而不求的方法,設(shè)在直線上,則,同理,
,下面我們想辦法把表示出來,這可由共線,共線得到,這里要考查同學(xué)計(jì)算能力,只要計(jì)算正確,就能得出正確結(jié)論.
試題解析:(1)由已知,得解得       2分
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.       3分
(2)設(shè)點(diǎn),則中點(diǎn)為
由已知,求得直線的方程為,從而.①
又∵點(diǎn)在橢圓上,∴.②
由①②,解得(舍),,從而.       5分
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.       6分
(3)設(shè),,
三點(diǎn)共線,∴,整理,得.       8分
三點(diǎn)共線,∴,整理,得.       10分
∵點(diǎn)在橢圓上,∴,
從而.       14分
所以.       15分
為定值,定值為.       16分
考點(diǎn):(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)中點(diǎn)問題;(3)定值問題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓的右焦點(diǎn)為,短軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離等于焦距.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),,是否存在直線,使得△與△的面積比值為?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

我們將不與拋物線對稱軸平行或重合且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線稱為拋物線的切線,這個(gè)公共點(diǎn)稱為切點(diǎn).解決下列問題:
已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于4,直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)、,且為定值).設(shè)線段的中點(diǎn)為,與直線平行的拋物線的切點(diǎn)為..

(1)求出拋物線方程,并寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程;
(2)用、表示出點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo),并證明垂直于軸;
(3)求的面積,證明的面積與、無關(guān),只與有關(guān).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),開口向右,過焦點(diǎn)且垂直于拋物線對稱軸的弦長為2,過C上一點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線交拋物線于P,Q兩點(diǎn).

(1)若直線PQ過定點(diǎn),求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)對于第(1)問的點(diǎn)A,三角形APQ能否為等腰直角三角形?若能,試確定三角形APD的個(gè)數(shù);若不能,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

巳知橢圓的離心率是.
⑴若點(diǎn)P(2,1)在橢圓上,求橢圓的方程;
⑵若存在過點(diǎn)A(1,0)的直線,使點(diǎn)C(2,0)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓上,求橢圓的焦距的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切。
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),且,試判斷的面積是否為定值?若為定值,求出定值;若不為定值,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖所示,已知、、是長軸長為的橢圓上的三點(diǎn),點(diǎn)是長軸的一個(gè)端點(diǎn),過橢圓中心,且

(1)求橢圓的方程;
(2)在橢圓上是否存點(diǎn),使得?若存在,有幾個(gè)(不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)),若不存在,請說明理由;
(3)過橢圓上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn),作圓的兩條線,切點(diǎn)分別為,,若直線 在軸、軸上的截距分別為、,證明:為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

雙曲線的中心在原點(diǎn),右焦點(diǎn)為,漸近線方程為 .
(1)求雙曲線的方程;
(2)設(shè)直線與雙曲線交于、兩點(diǎn),問:當(dāng)為何值時(shí),以 為直徑的圓過原點(diǎn);

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓+y2=1的左頂點(diǎn)為A,過A作兩條互相垂直的弦AM、AN交橢圓于M、N兩點(diǎn).
(1)當(dāng)直線AM的斜率為1時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)當(dāng)直線AM的斜率變化時(shí),直線MN是否過x軸上的一定點(diǎn)?若過定點(diǎn),請給出證明,并求出該定點(diǎn);若不過定點(diǎn),請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案