Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，點(diǎn)的軌跡為．

（1）求直線及曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）若射線與直線交于點(diǎn)，與曲線交于點(diǎn)（與原點(diǎn)不重合），求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）直線l的極坐標(biāo)方程為.的極坐標(biāo)方程為

（2）

【解析】

（1）消參可得直線的普通方程，再利用公式把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而得到直線的極坐標(biāo)方程；利用相關(guān)點(diǎn)法求得曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）利用極坐標(biāo)中極徑的意義求得長(zhǎng)度，再把所求變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出結(jié)果．

（1）消去直線l參數(shù)方程中的t，得，

由，得直線l的極坐標(biāo)方程為，

故．

由點(diǎn)Q在OP的延長(zhǎng)線上，且，得，

設(shè)，則，

由點(diǎn)P是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，可得，即，

所以的極坐標(biāo)方程為．

（2）因?yàn)橹本�l及曲線的極坐標(biāo)方程分別為，，

所以，，

所以，

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，為．